雅可比矩阵(雅可比迭代法的工作原理)

雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士著名数学家雅可比。雅克比迭代法的计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。

概念

考虑线性方程组Ax = b时，一般当A为低阶稠密矩阵时，用主元消去法解此方程组是有效方法。但是，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组(A的阶数很高，但零元素较多，例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组)，利用迭代法求解此方程组就是合适的，在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特点。雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士著名数学家雅可比。

折叠编辑本段迭代过程

迭代过程

首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即:A = L+D+U，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

之后确定迭代格式，X^(k+1) = B*X^(k) +f ，(这里^表示的是上标，括号内数字即迭代次数)，如图2所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。(k = 0,1，......)

再选取初始迭代向量X^(0)，开始逐次迭代。

折叠编辑本段收敛性

设Ax= b，其中A=D+L+U为非奇异矩阵，且对角阵D也非奇异，则当迭代矩阵J的谱半径ρ(J)<1时，雅克比迭代法收敛。

折叠编辑本段优缺点

雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。

折叠编辑本段程序实现示例

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include <stdlib.h>

main(){

float e=0.001,z,m,a[3][3]={5,2,1,-1,4,2,2,-3,10},b[3]={-12,20,3},x[3]={0,0,0},y[3];

int n=3,j,i,k=1;

while(1) {

for(i=0;i<3;i++) {

for(j=0;j<3;j++)

m=m+a[i][j]*x[j];

m=m-x[i]*a[i][i];

y[i]=(b[i]-m)/a[i][i];

m=0;

}

i=0;

while(i<3) {

z=fabs(x[i]-y[i]);

if(z>e)

break;

i++;

}

if(i!=3) {

for(i=0;i<3;i++)

x[i]=y[i];

k++;

}

else if(i==3)

break;

}

printf("%fn%fn%fn",y[0],y[1],y[2]);

}