等比数列求和公式推导(等比数列求和的三个推导方法)

第一种：作差法

Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

　　q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q 　　

=a2+a3+a4+...+a(n+1) 　　

Sn-q*Sn=a1-a(n+1) 　　

(1-q)Sn=a1-a1*q^n 　　

Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) 　　

Sn=(a1-an*q)/(1-q) 　　

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

2、由等比数列定义

a2=a1*q

a3=a2*q

a(n-1)=a(n-2)*q

an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q

即 Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q

当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/（1-q） (n≥2)

当n=1时也成立.

当q=1时Sn=n*a1

所以Sn= n*a1（q=1） ；(a1-an*q)/（1-q） (q≠1)。

3、数学归纳法

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；

当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；

这就是说，当n=k+1时，等式也成立；

由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。